前言：本来打算只是归纳一下数学求导相关公式，后面也写了旋转求导相关内容，哈哈。感觉有点发散把握不住呀。水平有限，欢迎评论区点出。

一、基本初等函数求导公式

1. $(C{)}^{\prime }=0,C$为常数
2. $(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}，\mu$为常数
3. $(sinx{)}^{\prime }=cosx$
4. $(cosx{)}^{\prime }=-sinx$
5. $(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$
6. $(cscx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$
7. $(secx{)}^{\prime }=secxtanx$
8. $(cscx{)}^{\prime }=-cscxcotx$
9. $(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$
10. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
11. $(log{}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$
12. $(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
13. $(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
14. $(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1-x^2}$
15. $(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
16. $(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

二、函数四则运算求导法则

设$\mu =\mu (x),v=v(x)$都可导，则

1. $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
2. $(C\mu {)}^{\prime }=C{u}^{\prime },C$为常数
3. $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
4. $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

三、反函数求导数法则

若函数$x=\phi (y)$在某区间$I{}_y$内可导、单调且${\phi }^{\prime }(y)\ne 0,$则它反函数$y=f(x)$在对应区间$I{}_x$内也可导，且:
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\phi }^{\prime }(y)}$$
或
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

四、旋转求导

4.1 李群李代数

简易理解，李群就是旋转矩阵表示姿态；李代数使用旋转向量表示姿态；

借助MIT牛人的一席话，理解李群李代数非凡意义：
当分析和群论走在一 起，我们就有了李群(Lie Group)和李代数(Lie Algebra)。它们给连续群上的元素赋予了代数结构。这是一门非常漂亮的数学：在一个体系中，拓扑，微分和代数走到了一起。在一定条件下， 通过李群和李代数的联系，它让几何变换的结合变成了线性运算，让子群化为线性子空间，这样就为learning中许多重要的模型和算法的引入到对几何运动 的建模创造了必要的条件。

1）两者桥梁：罗徳里格旋转公式
$$R=cos\theta \cdot I+(1-cos\theta )\cdot \vec{n}\cdot {\vec{n}}^T+sin\theta \cdot {\vec{n}}^{\wedge }$$
其中，$\wedge$表示向量到反对称的转换符；$\theta$表示转角；$\vec{n}$表示单位旋转向量；

2）把旋转角度约束在$\pm \pi$范围，李群和李代数是一一对应的；否则，存在多个李代数对应同一个李群；换言之，多个旋转向量对应同一个旋转矩阵。

3）李群求导数，理解为泊松公式；

4）若知道了旋转矩阵即李群，那么通过如下方式可获取李代数：
$$\theta =arccos\frac{tr(R)-1}{2}$$
$$R\cdot \vec{a}=\vec{a}$$
根据线性代数求解特征值、特征向量方式，求解特征值为1对应的向量为旋转向量。至此，完成李群到李代数的映射。

4.2 旋转矩阵

1）对时间求导数，来自泊松公式
假设旋转矩阵$R$,角速度为$\omega$,则$R$对时间求导数表示为：
$$\dot{R}=R\cdot {\omega }^{\wedge }$$
其中，
$${\omega }^{\wedge }=\left[\begin{array}{ccc}0& -\omega {}_3& \omega {}_2\\ \omega {}_3& 0& -\omega {}_1\\ -\omega {}_2& \omega {}_1& 0\end{array}\right]$$

2）对于三维空间中，点$p=[x,y,z]$经过旋转矩阵$R$变换，则变换到点$p^{\prime }$,公式表示如：
$p^{\prime }=Rp$

4.3 四元数

1）当实部接近0,其余分量会非常大，导致解不稳定；由于$q$和$-q$表示同一个旋转，所以$R$对应的四元数不唯一

2)在三维空间中，点$p=[x,y,z]$使用四元数变换至点$p^{\prime }$过程如:

将三维空间点映射到四元数空间，设$p=[0,x,y,z]$,
四元数旋转表示为$q=[con\frac{\theta }{2},\vec{n}\cdot sin\frac{\theta }{2}]$,$\theta$表示转角，$\vec{n}$表示单位向量
那么，有
$$p^{\prime }=q\cdot p\cdot q^{-1}$$
3）四元数与轴角的关系
假设某个旋转运动的旋转轴为单位向量$\vec{u}$,绕该轴旋转的角度$\theta$,那么她对应的单位四元数为：
$$q=\left[\begin{array}{c}cos\frac{\theta }{2}\\ \vec{u}\cdot sin\frac{\theta }{2}\end{array}\right]$$
当旋转一段微小时间，即旋转角度趋向零时，容易有：
$$\Delta q=\left[\begin{array}{c}cos\frac{\delta \theta }{2}\\ \vec{u}\cdot sin\frac{\delta \theta }{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}1\\ \vec{u}\cdot \frac{\delta \theta }{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{\delta \theta }{2}\end{array}\right]$$
其中$\delta \theta$的方向表示旋转轴，模长表示旋转角度。
4)四元数求导数
角速度有：
$$\omega =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\delta \theta }{\Delta t}$$
四元数对时间的导数为：
$$\dot{q}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{q(t+\Delta t)-q(t)}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{q\otimes \Delta q-q}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{q\otimes \left(\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{\delta \theta }{2}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ \vec{0}\end{array}\right]\right)}{\Delta t}=q\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ \frac{\omega }{2}\end{array}\right]$$

数学公式参考
四元数求导参考
旋转向量旋转矩阵求导
旋转矩阵与旋转轴转换数学公式
李群李代数历史

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